Question

如圖，⊙O的半徑為R，在⊙O內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，OE⊥AB于點(diǎn)E．
（1）求證：OE=

1

2

CD；
（2）求證：AB²+CD²=4R²；
（3）若AB、CD是方程x²-6x+4=0的兩個根（AB＞CD），求⊙O的半徑R的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連結(jié)OA、OB、OC、OD，作OF⊥CD于F，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由OE⊥AB，OF⊥CD得到∠BOE=

1

2

∠AOB，∠COF=

1

2

∠COD，根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=

1

2

∠AOB，∠CBD=

1

2

∠COD，則∠BOE=∠ACB，∠COF=∠CBD，易得∠BOE+∠COF=90°，原式可根據(jù)等角的余角相等得到∠COF=∠OBE，然后根據(jù)“AAS”證明△BOE≌△OCF，得到OE=CF，再由垂徑定理得到CF=DF，所以有OE=

1

2

CD；
（2）根據(jù)垂徑定理得到AE=BE，CF=DF，則AB²+CD²=4BE²+4CF²，由（1）得到CF=OE，則AB²+CD²=4（BE²+4OE²），在Rt△OBE中根據(jù)勾股定理得BE²+OE²=R²，于是得到AB²+CD²=4R²；
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到得AB+CD=6，AB•CD=4，則AB²+CD²=（AB+CD）²-2AB•CD=28，再利用（2）的結(jié)論AB²+CD²=4R²得4R²=28，然后解方程即可．

解答：（1）證明：連結(jié)OA、OB、OC、OD，作OF⊥CD于F，如圖，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠BOE=

1

2

∠AOB，∠COF=

1

2

∠COD，
∵∠ACB=

1

2

∠AOB，∠CBD=

1

2

∠COD，
∴∠BOE=∠ACB，∠COF=∠CBD，
∵AC⊥BD，
∴∠ACB+∠CBD=90°，
∴∠BOE+∠COF=90°，
而∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠COF=∠OBE，
在△BOE和△OCF中，

∠BEO=∠OFC ∠OBE=∠COF OB=OC

，
∴△BOE≌△OCF（AAS），
∴OE=CF，
而OF⊥CD，
∴CF=DF，
∴OE=

1

2

CD；
（2）證明：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=BE，CF=DF，
∴AB²+CD²=4BE²+4CF²，
∵CF=OE，
∴AB²+CD²=4BE²+4OE²=4（BE²+4OE²），
在Rt△OBE中，∵BE²+OE²=OB²=R²，
∴AB²+CD²=4R²；
（3）解：根據(jù)題意得AB+CD=6，AB•CD=4，
∴AB²+CD²=（AB+CD）²-2AB•CD=6²-2•4=28，
∵AB²+CD²=4R²；
∴4R²=28，解得R=

7

，
即⊙O的半徑R的值為

7

．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和三角形全等的判定與性質(zhì)；會運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和勾股定理進(jìn)行計算．