Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=45°，BC=4，作DE⊥BC于點(diǎn)E，將△DEC沿直線DE折疊，點(diǎn)C落在CB的延長(zhǎng)線上F處，DF交BC于點(diǎn)G．設(shè)AD=x，其中0＜x＜2．
（1）用含有x的代數(shù)式表示BF的長(zhǎng)．
（2）設(shè)四邊形DEBG的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式．并指出當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：梯形,翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得BF的值；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的最值問題可以求得S在x=-

b

2a

時(shí)，有最大值，即可解題．

解答：解：（1）∵∠ABC=90°，DE⊥BC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABED是矩形，
∴AD=BE=x，AB=DE，∠DEC=90°，
∵∠C=45°，
∴∠EDC=∠C=45°，
∴DE=EC=4-x，BF=4-2x；
（2）將△DEC沿直線DE折疊，點(diǎn)C落在CB的延長(zhǎng)線上F處，BC=4，BE=AD=x，
∴EC=EF=4-x，
∵AB∥DE，
∴△FBG∽△FED，
∴

FB

EF

=

4-2x

4-x

，
S=

1

2

[（4-x）²-（4-2x）²]=

1

2

[8x-3x²]，
當(dāng)x=-

b

2a

=

4

3

，S有最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，考查了二次函數(shù)求最值問題．