Question

17．如圖，在邊長為8的等邊三角形ABC中，點E是中線AD的中點，點F在AB邊上，點G在AC邊上，則由線段DG、GE、EF、FD圍成的圖形周長最小值等于12．

Answer 1

分析 如圖，作點D關(guān)于直線AB、直線AC的對稱點M、N，連接EM、EN交AB、AC于點F、點G，連接EK．此時由線段DG、GE、EF、FD圍成的圖形周長最小，只要證明MN∥BC，F(xiàn)G是△ABC的中位線即可解決問題．

解答 解：如圖，作點D關(guān)于直線AB、直線AC的對稱點M、N，連接EM、EN交AB、AC于點F、點G，連接EK．

∵FE+FD=FM+EF=EM，
根據(jù)兩點之間線段最短，可知此時FE+FD最短，同理GE+GD最短．即此時DG、GE、EF、FD圍成的圖形周長最小
∵△ABC是等邊三角形，點E是中線AD的中點，
∴AD⊥BD，∠B=60°，∠BDK=∠BAD=30°，∠ADK=60°，
∴AD=2DK，
∴DE=DK，
∴△EDK是等邊三角形，
∴∠EKD=∠KED=60°，
∵KM=KD=DE=EK，
∴∠M=∠KEM=30°，
∴∠MED=90°，同理∠NED=90°，
∴M、E、N共線，MN∥BC，
∵AE=ED，
∴AF=FB，AG=GC，
∴FG=$\frac{1}{2}$BC=4，DF=DG=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴DG、GE、EF、FD圍成的圖形周長最小值為12．
故答案為12．

點評 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱-最短問題、平行線等分線段定理、三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱，探究最小值問題，屬于中考�？碱}型．