Question

14．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，點(diǎn)D從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線CB方向以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，射線MP⊥射線CB，且BM=10，點(diǎn)Q從M點(diǎn)出發(fā)，沿射線MQ方向以每秒a個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，己知D，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，記時(shí)間為t．
（1）當(dāng)t=10時(shí)，△DMQ是等腰三角形，求a的值；
（2）求t為何值時(shí)，△DCA為等腰三角形；
（3）若△DMQ與△ABC全等，求a的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)t=10時(shí)，DB=30，得到DM=20，由于△DMQ是等腰三角形，∠DMQ=90°，得到DM=MQ，于是得到a=2；
（2）①當(dāng)AC=AD時(shí)，△DCA為等腰三角形，得到BD=BC=3，求得t=1，②當(dāng)AC=CD=4時(shí)，△DCA為等腰三角形，得到BD=1，于是得到t=$\frac{1}{3}$，③當(dāng)AD=CD=3+3t時(shí)，△DCA為等腰三角形，根據(jù)勾股定理列方程即可得到t=$\frac{7}{18}$，
（3）當(dāng)△DMQ與△ABC全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)t=10時(shí)，DB=30，
∵BM=10，
∴DM=20，
∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ=90°，
∴DM=MQ，
即20=10a，
∴a=2；
（2）①當(dāng)AC=AD時(shí)，△DCA為等腰三角形，
∵AB⊥CD，
∴BD=BC=3，
∴t=1，
②當(dāng)AC=CD=4時(shí)，△DCA為等腰三角形，
∵BC=3，
∴BD=1，
∴t=$\frac{1}{3}$，
③當(dāng)AD=CD=3+3t時(shí)，△DCA為等腰三角形，
∵∠ABD=90°，
∴AB²+BD²=AD²，
即4²+（3t）²=（3+3t）²，
∴t=$\frac{7}{18}$，
綜上所述：t=1，$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{18}$時(shí)，△DCA為等腰三角形；
（3）當(dāng)△DMQ與△ABC全等，
①△DMQ≌△ABC，
∴MQ=BC=3，DM=AB=4，
∵BM=10，
∴BD=6，
∴t=2，
∴a=$\frac{3}{2}$，
②△DMQ≌△CBA，
∴DM=BC=3，MQ=AB=4，
∴BD=7，
∴t=$\frac{7}{3}$，
∴a=$\frac{12}{7}$，
綜上所述：當(dāng)△DMQ與△ABC全等時(shí)，a=$\frac{3}{2}$，$\frac{12}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．