Question

11．如圖，已知?ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延長線相交于G，下面結論：①DB=$\sqrt{2}$BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④BH=HG．
其中正確的結論有①②③（只填正確結論的序號）．

Answer 1

分析 求出BE=DE，由勾股定理得出BD²=DE²+BE²，即可判斷①；求出∠DHF=∠C，根據平行四邊形的性質得出AB=CD，∠A=∠C，即可判斷②；證△BHE≌△DCE，推出BH=DC，根據AB=CD即可判斷③；根據AB=DC=BH和已知判斷④即可．

解答 解：∵DH⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵∠DBC=45°，
∴∠BDE=45°=∠DBE，
∴BE=DE，
由勾股定理得：BD²=DE²+BE²，
即BD=$\sqrt{2}$DE，∴①正確；
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠DEC=∠HFD=90°，
∴∠DHF+∠EDC=90°，∠EDC+∠C=90°，
∴∠DHF=∠C，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠A=∠C，
∵∠DHF=∠BHE，
∴∠A=∠BHE，∴②正確；
在△BHE和△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBE=∠EDC}\\{BE=DE}\\{∠BEH=∠DEC}\end{array}\right.$
∴△BHE≌△DCE，
∴BH=DC，
∵AB=CD，
∴BH=AB，∴③正確；
∵根據已知不能推出BH=HG，∴④錯誤；
故答案為：①②③．

點評 本題考查了平行四邊形的性質等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，綜合性比較強，有一定的難度．