Question

關(guān)于x的方程（k-2）x²-2（k-1）x+k+1=0，且k≤3．求證：方程總有實(shí)數(shù)根．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,一元一次方程的解

專題：證明題

分析：分類討論：當(dāng)k-2=0，即k=2，方程變形一元一次方程，有一個實(shí)數(shù)解；當(dāng)k-2≠0，即k≠2，計(jì)算判別式得到△=[2（k-1）]²-4（k-2）（k+1）≥0得到△≥0，則根據(jù)判別式的意義得到方程有兩個實(shí)數(shù)根，然后可判斷k≤3，方程總有實(shí)數(shù)根．

解答：證明：當(dāng)k-2=0，即k=2，方程變形為-2x+3=0，解得x=

3

2

；
當(dāng)k-2≠0，即k≠2，
△=[2（k-1）]²-4（k-2）（k+1）=-4k+12≥0，
解得k≤3．
所以方程有兩個實(shí)數(shù)根，
所以不論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．