Question

14．閱讀下面材料：隨著人們認(rèn)識(shí)的不斷深入，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派逐漸承認(rèn)$\sqrt{2}$不是有理數(shù)，并給出了證明．假設(shè)是$\sqrt{2}$有理數(shù)，那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)p，q，使得$\sqrt{2}$=$\frac{p}{q}$，于是p=$\sqrt{2}$q，兩邊平方得p²=2q²．因?yàn)?q²是偶數(shù)，所以p²是偶數(shù)，而只有偶數(shù)的平方才是偶數(shù)，所以p也是偶數(shù)．因此可設(shè)p=2s，代入上式，得4s²=2q²，即q²=2s²，所以q也是偶數(shù)，這樣，p和q都是偶數(shù)，不互質(zhì)，這與假設(shè)p，q互質(zhì)矛盾，這個(gè)矛盾說明，$\sqrt{2}$不能寫成分?jǐn)?shù)的形式，即$\sqrt{2}$不是有理數(shù)．
請(qǐng)你有類似的方法，證明$\root{3}{2}$不是有理數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)題意利用反證法假設(shè)$\root{3}{2}$是有理數(shù)，進(jìn)而利用假設(shè)得出矛盾，從而得出假設(shè)不成立原命題正確．

解答 解：假設(shè)$\root{3}{2}$是有理數(shù)，
則存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)m，n，使得$\root{3}{2}$=$\frac{n}{m}$，
于是有2m³=n³，
∵n³是2的倍數(shù)，
∴n是2的倍數(shù)，
設(shè)n=2t（t是正整數(shù)），則n³=8t³，即8t³=2m³，
∴4t³=m³，
∴m也是2的倍數(shù)，
∴m，n都是2的倍數(shù)，不互質(zhì)，與假設(shè)矛盾，
∴假設(shè)錯(cuò)誤，
∴$\root{3}{2}$不是有理數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了實(shí)數(shù)的概念以及反證法的應(yīng)用，正確掌握反證法的基本步驟是解題關(guān)鍵．