Question

5．如圖，在△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AC于點E，過點E作EF⊥AB于點F，延長EF交CB的延長線于點G，且∠ABG=2∠C．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若sin∠EGC=$\frac{3}{5}$，⊙O的半徑是3，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）連接EO，由∠EOG=2∠C、∠ABG=2∠C知∠EOG=∠ABG，從而得AB∥EO，根據(jù)EF⊥AB得EF⊥OE，即可得證；
（2）由∠ABG=2∠C、∠ABG=∠C+∠A知∠A=∠C，即BA=BC=6，在Rt△OEG中求得OG=$\frac{OE}{sin∠EGO}$=5、BG=OG-OB=2，在Rt△FGB中求得BF=BGsin∠EGO，根據(jù)AF=AB-BF可得答案．

解答 解：（1）如圖，連接EO，則OE=OC，

∴∠EOG=2∠C，
∵∠ABG=2∠C，
∴∠EOG=∠ABG，
∴AB∥EO，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
又∵OE是⊙O的半徑，
∴EF是⊙O的切線；

（2）∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A，
∴∠A=∠C，
∴BA=BC=6，
在Rt△OEG中，∵sin∠EGO=$\frac{OE}{OG}$，
∴OG=$\frac{OE}{sin∠EGO}$=$\frac{3}{\frac{3}{5}}$=5，
∴BG=OG-OB=2，
在Rt△FGB中，∵sin∠EGO=$\frac{BF}{BG}$，
∴BF=BGsin∠EGO=2×$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{5}$，
則AF=AB-BF=6-$\frac{6}{5}$=$\frac{24}{5}$．

點評 本題主要考查切線的判定與性質(zhì)及解直角三角形的應用，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．