Question

14．已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（-1，2），且與直線y=2x-2平行．
（1）求這個一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若O為坐標(biāo)原點，點P為直線y=2x-2上一點，使得△POA的面積為3，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)這個一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b，因為兩直線平行k相等易得k=2，把（-1，2）代入y=kx+b，即可求得b的值；
（2）分三種情況討論：當(dāng)點P在第一象限、第三象限、第四象限時，根據(jù)△POA的面積為3，分別代入面積公式進(jìn)行計算可求得P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)這個一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b，
∵直線y=kx+b與y=2x-2平行，
∴k=2，
∵直線y=kx+b過A（-1，2），
∴2×（-1）+b=2，
解得：b=4，
∴直線解析式為y=2x+4；
（2）設(shè)P（m，2m-2），
分三種情況：
①如圖1，當(dāng)點P在第一象限時，過A作AE⊥x軸于E，過P作PF⊥x軸于F，
∴S_△AOP=S_梯形AEFP-S_△AOE-S_△POF=3，
$\frac{1}{2}$（2+2m-2）（1+m）-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×m×（2m-2）=3，
m=2，
當(dāng)m=2時，2m-2=2×2-2=2，
∴P（2，2）
②如圖2，當(dāng)點P在第三象限時，過A作AE⊥y軸于E，過P作PF⊥y軸于F，
∴S_△AOP=S_梯形AEFP-S_△AOE-S_△POF=3，
$\frac{1}{2}$（2-2m+2）（1-m）-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×（-m）×（-2m+2）=3，
m=-1，
當(dāng)m=-1時，2m-2=-4，
∴P（-1，-4）；
③如圖3，當(dāng)點P在第四象限時，構(gòu)建矩形AFPE，交x軸于G，交y軸于H，
S_△AOP=S_△AFP-S_△AOG-S_矩形GFHO-S_△OPH=3
$\frac{1}{2}$×（1+m）（2+2-2m）-$\frac{1}{2}$×1×2-1×（2-2m）-$\frac{1}{2}$×m×（2-2m）=3
m=2
當(dāng)m=2時，2m-2=2×2-2=2，不符合題意，
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（2，2）或（-1，-4）．

點評 本題考查了兩條直線相交和平行問題，以及一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，用到的知識點為：兩直線平行，那么解析式中的比例系數(shù)相同；點在直線上的，點的橫縱坐標(biāo)適合這個函數(shù)解析式，即利用解析式表示該圖象上謀點的坐標(biāo)．