Question

20．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是CD、AD上的一點，連接BF、FE，DE=CE，且∠BFE=∠FBC
（1）直接寫出∠DEF+∠DFE的值90°；
（2）求：$\frac{AF}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，∠D=90°，即△DEF為直角三角形，所以∠DEF+∠DFE=90°；
（2）延長BC，F(xiàn)E交于點P，構造等腰三角形PEB，利用正方形的性質(zhì)和中點的性質(zhì)求得PB的長后，由勾股定理求得a的值．則可求出AB，AF的值．

解答 （1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠D=90°，即△DEF為直角三角形，
∴∠DEF+∠DFE=90°，
故答案為：90°；
（2）如圖，延長BC，F(xiàn)E交于點P，

∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．
∴△DEF∽△CEP．
∵E為CD的中點，
∴$\frac{EF}{EP}=\frac{DE}{CE}$=1，PF=2EF．
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF．
設AF=a，
∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，
EF=$\frac{PF}{2}=\frac{8-a}{2}$．AB=（8-a）-（4-a）=4，
∵Rt△DEF中，EF²=DE²+DF²，
∴$（\frac{8-a}{2}）^{2}$=2²+（4-a）²整理，得3a²-16a+16=0，
解得，a₁=$\frac{4}{3}$，a₂=4；
∵F點不與D點重合，
∴a=4不成立，a=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{\frac{4}{3}}{4}=\frac{1}{3}$．

點評 本題利用了正方形的性質(zhì)，中點的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理求解，解決本題的關鍵是作出輔助線．