Question

5．已知E為△ABC內部一點，AE延長線交邊BC于點D，連接BE，CE，∠BED=∠BAC=2∠DEC．
（1）如圖①，若AC=AB，∠BAC=90°時，AE=2，求△AEB的面積．
（2）如圖②，若AC=AB，探究BE，AE的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）在EB上截取EF=AE，利用AAS即可證得△ABF≌△CAE，根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可證得BE=2AE=4，由三角形的面積公式可求得結論；
（2）在AD上截取AF=BE，連接CF，易證△ACF≌△BAE，可得CF=AE，BE=AF，∠AEB=∠CFA，再根據(jù)∠BDE=2∠DEC，即可求得EF=FC，即可解題．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，∠BED=∠BAC，
∴∠BED=90°，
在EB上截取EF=AE，設∠BED=2α，
∴∠FAE=∠AFE=α，
∴∠AEC=∠AFB，
∵∠CAD+∠BAD=∠BAC=2α，∠ABE+∠BAD=∠BED=2α，
∴∠CAE=∠ABE
在△ABF和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠AFB}\\{∠CAE=∠ABE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAE（AAS），
∴BF=AE=EF，
∴BE=2AE=4，
∴△AEB的面積=$\frac{1}{2}$AE•BE=$\frac{1}{2}$×2×4=4；

（2）在AD上截取AF=BE，連接CF，
在△ACF和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=AB}\\{∠DAC=∠ABE}\\{AF=BE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BAE，（SAS）
∴CF=AE，BE=AF，∠AEB=∠CFA，
∴∠BED=∠CFD
∵∠BED=2∠DEC，∠CFD=∠DEC+∠ECF，
∴∠DEC=∠ECF，
∴EF=FC，
∴AE=EF，
∴BE=AF=2AE．

點評 本題考查了全等三角形的判定考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證△ACF≌△BAE是解題的關鍵．