Question

15．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊AB上任一點(diǎn)（與點(diǎn)A，B不重合），連接CE，過點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F，連接AF并延長交BC邊于點(diǎn)G，連接EG，若正方形邊長為4，GC=$\frac{2}{3}$AE，則GE=$\frac{4}{9}$$\sqrt{85}$．

Answer 1

分析 如圖，延長DA、CE交于點(diǎn)M．假設(shè)AE=3a，GC=2a，想辦法用a的代數(shù)式表示AM、CF、FM，由$\frac{CG}{AM}$=$\frac{CF}{FM}$，列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖，延長DA、CE交于點(diǎn)M．

∵GC=$\frac{2}{3}$AE，可以假設(shè)AE=3a，GC=2a，
∵四邊形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，AB∥CD，BC∥AD，
∴$\frac{BC}{AM}$=$\frac{BE}{AE}$，
∴$\frac{4}{AM}$=$\frac{4-3a}{3a}$，
∴AM=$\frac{12a}{4-3a}$，
由△CDF∽△ECB，得$\frac{DC}{EC}$=$\frac{CF}{BE}$，
∴CF=$\frac{4（4-3a）}{\sqrt{{4}^{2}+（4-3a）^{2}}}$，
由△MDF∽△CEB，得$\frac{FM}{BC}$=$\frac{DM}{CE}$，
∴FM=$\frac{64}{（4-3a）\sqrt{{4}^{2}+（4-3a）^{2}}}$，
∵CG∥AM，
∴$\frac{CG}{AM}$=$\frac{CF}{FM}$，
∴$\frac{2a}{\frac{12a}{4-3a}}$=$\frac{\frac{4（4-3a）}{\sqrt{{4}^{2}+（4-3a）^{2}}}}{\frac{64}{（4-3a）\sqrt{{4}^{2}+（4-3a）^{2}}}}$，
解得a=$\frac{4}{9}$，
在Rt△GBE中，∵BG=4-$\frac{8}{9}$=$\frac{28}{9}$，BE=4-$\frac{12}{9}$=$\frac{24}{9}$，
∴GE=$\sqrt{B{G}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{28}{9}）^{2}+（\frac{24}{9}）^{2}}$=$\frac{4}{9}$$\sqrt{85}$，
故答案為$\frac{4}{9}$$\sqrt{85}$．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考�？碱}型．