Question

如圖，已知⊙O的半徑為1，DE是⊙O的直徑，過點D作⊙O的切線AD，C是AD的中點，AE交⊙O于B點，四邊形BCOE是平行四邊形．
（1）BC是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，請說明理由；
（2）求AB的長．

Answer 1

考點：切線的判定,平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OB，由已知得到四邊形BCDO為平行四邊形，由AD為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于AD，可得出四邊形BCDO為矩形，利用矩形的性質(zhì)得到OB垂直于BC，即可得出BC為圓O的切線．
（2）連接BD，先證得四邊形BCDO是正方形，得出∠ODB=45°，由ED為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠DBE為直角，從而證得△BDE是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求得BD=

2

，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)證得BD=AB，從而求得AB的長．

解答：解：（1）是，理由如下：
如圖，連接OB．
∵四邊形BCDO為平行四邊形，
∴ED∥BC，OE=BC，
∵OE=OD，
∴OD=BC，
∴四邊形ODCB是平行四邊形，
∵AD為圓O的切線，
∴OD⊥AD，
∴四邊形BCDO為矩形，
∴OB⊥BC，
則BC為圓O的切線．
（2）連接BD，
∵四邊形BCDO為矩形，OB=OD=BC，
∴四邊形BCDO是正方形，
∴∠ODB=45°，
∵DE是直徑，
∴∠DBE=90°，
∵⊙O的半徑為1，
∴ED=2，
∴BD=

2

，
∵BC⊥AD，C為AD的中點，
∴AB=BD=

2

．

點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．