Question

如圖，銳角△ABC中，點H是三條高的交點，點D、E、F、G分別是AB、BH、CH、AC的中點．
（1）求證：四邊形DEFG是矩形；
（2）若∠BAC=45°，求證：四邊形DEFG是正方形．

Answer 1

考點：中點四邊形

專題：證明題

分析：（1）利用中位線的性質(zhì)與判定結(jié)合平行四邊形的判定得出四邊形DEFG是平行四邊形，進而得出∠EDG=90°，求出即可；
（2）利用全等三角形的判定得出△DME≌△FHE（ASA），進而得出DE=EF，即可得出四邊形DEFG是正方形．

解答：證明：（1）∵銳角△ABC中，點D、E、F、G分別是AB、BH、CH、AC的中點，
∴DG∥BC，DE∥AH，F(xiàn)G∥AH，EF∥BC，
∴DG∥EF，DE∥FG，
∴四邊形DEFG是平行四邊形，
∵點H是三條高的交點，DG∥BC，
∴AH⊥DG，
∴∠EDG=90°，
∴平行四邊形DEFG是矩形；

（2）延長CH交AB于M，延長BH交AC于N，
∵點H是三條高的交點，
∴∠AMH=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠MHN=360°-90°-90°-45°=135°，
∴∠1=135°，
∴∠MHB=45°，
∴∠MBH=45°，
∴BM=MH，
∵BE=EH，
∴ME⊥BH，
∴ME=EH，則∠EMH=45°，
∴∠EMD=135°，
則∠EMD=∠EHF，
∵∠FEH+∠DEH=90°，∠DEH+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠FEH，
在△DME和△FHE中
∵

∠DME=∠EHF ME=HE ∠MED=∠FEH

，
∴△DME≌△FHE（ASA），
∴DE=EF，
∴矩形DEFG是正方形．

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和矩形以及正方形的判定等知識，得出△DME≌△FHE（ASA）是解題關(guān)鍵．