Question

19．如圖1，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B沿折線BE-ED-DC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，它們運(yùn)動的速度都是1cm/s，若點(diǎn)P、Q同時開始運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），△BPQ的面積為y（cm²）．已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2，則下列結(jié)論正確的有（　�。�
①AE=6cm；②sin∠EBC=$\frac{4}{5}$；③當(dāng)0＜t≤10時，y=$\frac{2}{5}$t²；④當(dāng)t=12s時，△PBQ是等腰三角形．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)圖象可以得到BC和BE的長度，以及DE的長度，根據(jù)圖2中y的值可以求得CD的長，從而可以得到AE的長，從而可以判斷①；
作輔助線EF⊥BC于點(diǎn)F，由于EF=CD的長，從而可以得到sin∠EBC的值，可以判斷②；
根據(jù)函數(shù)圖象可以求得在0＜t≤10時，求得△BPQ底邊BQ上的高，從而可以得到△BPQ的面積，從而可以判斷③；
根據(jù)題意可以分別求得在t=12時，BQ、QP、PB的長，從而判斷④．

解答 解：由圖象可知，
BC=BE=10，DE=14-10=4，
∴AD=10，
∴AE=AD-DE=10-4=6cm，故①正確；
作EF⊥BC于點(diǎn)F，作PM⊥BQ于點(diǎn)M，如下圖所示，

由圖象可知，三角形PBQ的最大面積為40，
∴$\frac{BC•EF}{2}=\frac{10×EF}{2}=40$，
解得EF=8，
∴$sin∠EBC=\frac{EF}{BE}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，故②正確；
當(dāng)0＜t≤10時，△BMP∽△BFE，
∴$\frac{PM}{EF}=\frac{BP}{BE}$，即$\frac{PM}{8}=\frac{t}{10}$，
解得PM=$\frac{4t}{5}$，
∴${S}_{△BPQ}=\frac{BQ•PM}{2}=\frac{t•\frac{4t}{5}}{2}$=$\frac{2}{5}{t}^{2}$，
即$y=\frac{2}{5}{t}^{2}$，故③正確；
當(dāng)t=12時，BQ=10，PQ=$\sqrt{Q{D}^{2}+D{P}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$，BQ=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{8}^{2}}=8\sqrt{2}$，
∴△BPQ不是等腰三角形，故④錯誤；
故①②③正確．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出所求問題需要的條件．