Question

10．已知△ABC是等邊三角形，以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若AE=1，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC，∠B=∠C=60°，證出△OBD是等邊三角形，得出∠BOD=∠C，證出OD∥AC，得出DE⊥OD，即可得出結(jié)論；
（2）連接CD，根據(jù)圓周角定理和等邊三角形的性質(zhì)得出BD=AD=OB，然后解直角三角形即可求得．

解答 解：（1）DE是⊙O的切線；理由如下：
連接OD，如圖1所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOD=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：連接CD，
∵BC為直徑，
∴CD⊥AB，
∴BD=AD=OB，
在直角△ADE中，
∠A=60°，
∴AD=2AE=2，
∴OB=AD=2，
∴BC=2OB=4，即⊙O的直徑是4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、平行線的判定、三角函數(shù)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．