Question

15．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒1cm的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒ycm的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)y=2時(shí)，t為何值時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形？
（2）當(dāng)四邊形PQDC為菱形時(shí)，求y，t的值；
（3）當(dāng)t=2時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使△PQD為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的y的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意已知，AD∥BC，要使四邊形PQDC是平行四邊形，則只需要讓QD=PC即可，因?yàn)镼、P點(diǎn)的速度已知，AD、BC的長度已知，要求時(shí)間，用時(shí)間=路程÷速度，即可求出時(shí)間；
（3）使△PQD是等腰三角形，可分三種情況，即PQ=PD、PQ=QD、QD=PD；可利用等腰三角形及直角梯形的性質(zhì)，分別用y表達(dá)等腰三角形的兩腰長，再利用兩腰相等即可求得y

解答 解：（1）當(dāng)y=2時(shí)，
∵四邊形PQDC是平行四邊形
∴DQ=CP
當(dāng)P從B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=21-2t
∴16-t=21-2t
解得t=5
當(dāng)P從C運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=2t-21
∴16-t=2t-21，
解得t=$\frac{37}{3}$，
∴當(dāng)t=5或$\frac{37}{3}$秒時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形
（2）如圖1，

過點(diǎn)D作DG⊥BC，
在Rt△DGC中，CG=21-15=5，DG=AB=12，
根據(jù)勾股定理得，CD=13
由運(yùn)動(dòng)得，AQ=t，BP=ty，
∴QD=16-t，PC=21-ty，
∵四邊形PQDC為菱形，而DQ∥PC
∴QD=PC=CD，
∴16-t=21-ty=13，
∴t=3，y=$\frac{8}{3}$；
（3）當(dāng)t=2時(shí)，
∴AQ=2，BP=2y，
∴QD=AD-AQ=16-2=14，PC=21-2y
當(dāng)PQ=PD時(shí)，
如圖2，

作PH⊥AD于H，則HQ=HD
∵QH=HD=$\frac{1}{2}$QD=7，
∵AH=BP，
∴AQ+QH=BP，
∴2+7=2y，
∴y=$\frac{9}{2}$
當(dāng)PQ=QD時(shí)QH=AH-AQ=BP-AQ=2y-2，QD=14，
∵PQ²=QH²+PH²=（2y-2）²+12²，
∴196=（2y-2）²+12²，
∴y=1+$\sqrt{13}$或y=1-$\sqrt{13}$（舍）
解得y=1+$\sqrt{13}$；
當(dāng)QD=PD時(shí)DH=AD-AH=AD-BP=16-2y，
∵QD²=PD²=PH²+HD²=12²+（16-2y）
∴196=12²+（16-2y）²
∴y=8-$\sqrt{13}$或y=8+$\sqrt{13}$（舍）
綜上可知，當(dāng)y=$\frac{9}{2}$或y=1+$\sqrt{13}$或y=8-$\sqrt{13}$時(shí)，△PQD是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定、等腰三角形的性質(zhì)，特別應(yīng)該注意要全面考慮各種情況，不要遺漏．