Question

19．數(shù)學活動：擦出智慧的火花---由特殊到一般的數(shù)學思想．
數(shù)學課上，李老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上的點，過點E作EF⊥AE，過點F作FG⊥BC交BC的延長線于點G．．
（1）求證：∠BAE=∠FEG．
（2）同學們很快做出了解答，之后李老師將題目修改成：如圖2，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線于點F，求證：AE=EF．
經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF．請借助圖1完成小明的證明；
在（2）的基礎上，同學們作了進一步的研究：
（3）小聰提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，你認為小聰?shù)挠^點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據∠AEF=90°，即可得到∠AEB+∠FEG=90°，在直角△ABE中，利用三角形內角和定理得到∠BAE+∠AEB=90°，然后根據同角的余角相等，即可證得；
（2）作AB的中點M，連接ME，根據ASA即可證明△AME≌△ECF，然后根據全等三角形的對應邊相等即可證得；
（3）在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME，同（2）根據ASA即可證明△AME≌△ECF，然后根據全等三角形的對應邊相等即可證得．

解答 解：（1）∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEG=90°，
又∵直角△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEG；
（2）作AB的中點M，連接ME．
∵正方形ABCD中，AB=BC，
又∵AM=MB=$\frac{1}{2}$AB，BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴MB=BE，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°，
又∵∠ECF=180°-∠FCG=180°-45°=135°．
∴∠AME=∠ECF，
∴在△AME和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FEC}\\{AM=EC}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECF，
∴AE=EF；
（3）在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME．
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°，
∵CF是外角平分線，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°
∴∠AME=∠ECF
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°
∴∠BAE=∠CEF
∴在△AME和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FEC}\\{AM=EC}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．

點評 本題考查了正方形的性質和全等三角形的判定與性質，要注意題目之間的聯(lián)系，正確作出輔助線構造全等的三角形是本題的關鍵．