Question

19．你能化簡(jiǎn)（x-1）（x²⁰¹³+x²⁰¹²+x²⁰¹¹+…+x+1）嗎？遇到這樣的復(fù)雜問題時(shí)，我們可以先從簡(jiǎn)單的情形入手，然后歸納出一些方法．
（1）分別化簡(jiǎn)下列各式：
（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
…
由此猜想：第100個(gè)式子（x-1）（x¹⁰⁰+x⁹⁹+…+x+1）=x¹⁰¹-1．
（2）請(qǐng)你利用上面的猜想，化簡(jiǎn)：
2²⁰¹⁹+2²⁰¹⁸+2²⁰¹⁷+…+2+1．

Answer 1

分析 （1）歸納總結(jié)得到規(guī)律，寫出結(jié)果即可；
（2）原式變形后，利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³+x²+x-x²-x-1=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴+x³+x²+x-x³-x²-x-1=x⁴-1；
第100個(gè)式子為（x-1）（x¹⁰⁰+x⁹⁹+…+x+1）=x¹⁰¹-1；

（2）2²⁰¹⁹+2²⁰¹⁸+2²⁰¹⁷+…+2+1
=（2-1）（2²⁰¹⁹+2²⁰¹⁸+2²⁰¹⁷+…+2+1）
=2²⁰²⁰-1．
故答案為：（1）x²-1、x³-1、x⁴-1、（x-1）（x¹⁰⁰+x⁹⁹+…+x+1）=x¹⁰¹-1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．