Question

如圖，四邊形ABCD中，AD⊥DC，AC⊥CB，AC平分∠DAB，E為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC²=AB•AD；
（2）求證：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求

AC

AF

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明△ADC∽△ACB，得比例式AD：AC=AC：AB，即可得出結(jié)論；
（2）先證∠CAB=∠ACE，得出∠DAC=∠ACE，證出CE∥AD；
（3）由（1）先求出AC，再證明△AFD∽△CFE，得出比例式，AF：CF=AD：CE=4：3，即可證出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵AD⊥DC，AC⊥BC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AB•AD；
（2）證明：∵E為AB的中點(diǎn)，
∴CE=

1

2

AB=AE，
∴∠CAB=∠ACE，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ACE，
∴CE∥AD；
（3）解：∵AC²=AB•AD=6×4=24，
∴AC=2

6

，
∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴

AF

CF

=

AD

CE

，
∵CE=

1

2

AB=3，
∴

AF

CF

=

4

3

，
∴

AC

CF

=

7

3

，
∴

AC

AF

=

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，證明三角形相似得出比例式是解題的關(guān)鍵．