Question

12．如圖，已知△ABC．按如下步驟作圖：①以A為圓心，AB長為半徑畫弧；②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D；③連結(jié)BD，與AC交于點(diǎn)E，連結(jié)AD，CD．
（1）求證：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=$\sqrt{3}$+1，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)作圖以及公共邊，運(yùn)用SSS可以證明△ABC≌△ADC；
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明△AEB是直角三角形，根據(jù)△BCE是等腰直角三角形，可得BE=CE，最后設(shè)BE=CE=x，則AE=$\sqrt{3}$x，依據(jù)AC=$\sqrt{3}$+1，列出方程求解即可．

解答 解：（1）在△ABC與△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{BC=CD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；

（2）∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAE=∠DAE，
又∵AB=AD，
∴AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AED=90°，
∵∠BAC=30°，
∴AE=$\sqrt{3}$BE，
又∵∠BCA=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE，
設(shè)BE=CE=x，則AE=$\sqrt{3}$x，
∵AC=$\sqrt{3}$+1，
∴$\sqrt{3}$x+x=$\sqrt{3}$+1，
解得x=1，
∴BE=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．