Question

已知，如圖，在△ABC中，內(nèi)切圓I與邊BC，CA，AB分別相交于點D，E，F(xiàn)．求證：∠FDE=90°-

1

2

∠A．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：證明題

分析：連結IE、IF，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠AEI=∠AFI=90°，則利用四邊形內(nèi)角和得到∠A+∠EIF=180°，再由圓周角定理得∠EIF=2∠FDE，所以∠A+2∠EDF=180°，然后變形即可得到結論．

解答：證明：連結IE、IF，如圖，
∵內(nèi)切圓I與邊CA，AB分別相交于點E，F(xiàn)，
∴IE⊥AC，IF⊥AB，
∴∠AEI=∠AFI=90°，
∴∠A+∠EIF=180°，
∵∠EIF=2∠FDE，
∴∠A+2∠EDF=180°，
∴∠FDE=90°-

1

2

∠A．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．熟練運用切線的性質(zhì)．