Question

3．【試題背景】已知：l∥m∥n∥k，平行線l與m、m與n、n與k之間的距離分別為d₁、d₂、d₃，且d₁=d₃=1，d₂=2．我們把四個頂點分別在l、m、n、k這四條平行線上的四邊形稱為“繡湖四邊形”．
【探究1】（1）如圖1，正方形ABCD為“繡湖四邊形”，BE⊥l于點E，BE的反向延長線交直線k于點F．求正方形ABCD的邊長．
【探究2】（2）矩形ABCD為“繡湖四邊形”，其長：寬=2：1，則矩形ABCD的寬為．（直接寫出結(jié)果即可）
【探究3】（3）如圖2，菱形ABCD為“繡湖四邊形”且∠ADC=60°，△AEF是等邊三角形，AE⊥k于點E，∠AFD=90°，直線DF分別交直線l、k于點G、M．求證：EC=DF．
【拓 展】（4）如圖3，l∥k，等邊三角形ABC的頂點A、B分別落在直線l、k上，AB⊥k于點B，且AB=4，∠ACD=90°，直線CD分別交直線l、k于點G、M，點D、E分別是線段GM、BM上的動點，且始終保持AD=AE，DH⊥l于點H．猜想：DH在什么范圍內(nèi)，BC∥DE？并說明此時BC∥DE的理由．

Answer 1

分析 （1）利用AAS證明△ABE≌△BCF，即可求得AE和BE的長，然后利用勾股定理即可求解；
（2）過B作BE⊥l于點E，交k于點F，易證△AEB∽△BCF，然后分AB是長和AB是寬兩種情況進(jìn)行討論求得；
（3）連接AC，首先證明△ADC是等邊三角形，再證明△AFD≌△AEC（HL），根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得；
（4）連接AM，首先證明△ABE≌△ACD，然后證明Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，以及等腰直角三角形 的性質(zhì)證明∠MBC=∠MED，則ED∥BC即可證得．

解答 解：（1）如圖1，
∵BE⊥l，l∥k，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
又四邊形ABCD是正方形，
∴∠1+∠2=90°，AB=BC，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{∠AEB=∠BFC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF=1，
∵BE=d₁+d₂=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴正方形的邊長是$\sqrt{10}$；

（2）如圖2，過B作BE⊥l于點E，反向延長BE交k于點F．
則BE=1，BF=3，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
又∵直角△ABE中，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠FBC=∠EAB，
∴△AEB∽△BFC，
當(dāng)AB是較短的邊時，如圖（a），
AB=$\frac{1}{2}$BC，則AE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3}{2}$，
在直角△ABE中，AB=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$；
當(dāng)AB是長邊時，如圖（a），
同理可得：BC=$\frac{\sqrt{37}}{2}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{13}}{2}$或$\frac{\sqrt{37}}{2}$．

（3）如圖3，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=DC，
又∠ADC=60°，
∴△ADC是等邊三角形，
∴AD=AC，
∵AE⊥k，∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD=90°，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AF=AE，
在Rt△AFD和Rt△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AE}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△AEC（HL），
∴EC=DF．

（4）如圖4，
當(dāng)2＜DH＜4時，BC∥DE．
理由如下：連接AM，
∵AB⊥k，∠ACD=90°，
∴∠ABE=∠ACD=90°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
∴在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（HL），
∴BE=CD；
∴在Rt△ABM和Rt△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），
∴BM=CM；
∴∠MBC=∠MCB
∴MB=MC，
∴∠MED=∠MDE，
∵在等腰三角形MDE和等腰三角形MCB中，∠DME=∠CMB，
∴∠MBC=∠MED，
∴ED∥BC．

點評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．