Question

6．如圖，在直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)P（x，0）作x軸的垂線分別交拋物線y=x²+2與直線y=-$\frac{1}{2}$x于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為對角線作正方形ADBC，已知點(diǎn)Q（a，b）為該拋物線上的點(diǎn)．
（1）若x=1，當(dāng)點(diǎn)Q在正方形ADBC邊上（點(diǎn)A除外）時(shí)，則a的值為0．
（2）若a=-1，當(dāng)點(diǎn)Q在正方形ADBC的內(nèi)部（包括邊界）時(shí)，x的取值范圍是2≤x≤4或-$\frac{8}{3}$≤x≤-1．

Answer 1

分析 （1）先求得A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得AB的長，根據(jù)正方形的性質(zhì)，求得C、D的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，與拋物線聯(lián)立方程，解方程即可求得Q的坐標(biāo)，從而求得a；
（2）分兩種情況：①當(dāng)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)，根據(jù)題意列出方程即可．當(dāng)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)，列出方程即可．

解答 解：（1）若x=1，則P（1，0），
∵過點(diǎn)P（1，0）作x軸的垂線分別交拋物線y=x²+2與直線y=-$\frac{1}{2}$x于A，B兩點(diǎn)，
∴A（1，3），B（1，-$\frac{1}{2}$），
∴AB=3$\frac{1}{2}$，
∴AB的一半為$\frac{7}{4}$，
∵以線段AB為對角線作正方形ADBC，
∴C，D的縱坐標(biāo)為3-$\frac{7}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1-$\frac{7}{4}$=-$\frac{3}{4}$，
∴C（-$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把A，C的坐標(biāo)代入得$\left\{\begin{array}{l}{3=k+b}\\{\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=x+2，
∴與拋物線y=x²+2聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y={x}^{2}+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$（舍去），
∴Q（0，2），
∴a=0．
故答案為：0．
（2）若a=-1，則Q的坐標(biāo)為（-1，3），
①當(dāng)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)，
直線AC經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí)，直線AC的解析式為y=x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y={x}^{2}+2}\end{array}\right.$解得x₁=2，x₂=0（舍去），
，當(dāng)直線BC經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí)，直線BC的解析式為y=-x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得x=4，
∴2≤x≤4；
②當(dāng)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)，
直線BD經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí)，直線BD的解析式為y=x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$解得x=-$\frac{8}{3}$，
當(dāng)直線AD經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí)，點(diǎn)A與Q重合，此時(shí)x=-1，
∴-$\frac{8}{3}$≤x≤-1；
綜上，x的取值范圍是2≤x≤4或-$\frac{8}{3}$≤x≤-1．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意列出方程是本題的關(guān)鍵．