Question

圖是小紅設計的鉆石形商標，△ABC是邊長為2的等邊三角形，四邊形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1。
（1）證明：△ABE≌△CBD；
（2）圖中存在多對相似三角形，請你找出一對進行證明，并求出其相似比（不添加輔助線，不找全等的相似三角形）；
（3）小紅發(fā)現(xiàn)AM=MN=NC，請證明此結論；
（4）求線段BD的長。

Answer 1

解：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60°， ∵四邊形ACDE是等腰梯形，∠EAC=60°， ∴AE=CD，∠ACD=∠CAE=60°， ∴∠BAC+∠CAE=120°=∠BCA+∠ACD， 即∠BAE=∠BCD， 在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠BAE=∠BCD，AE=CD， ∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）存在， 答案不唯一，如△ABN∽△CDN， 證明如下： ∵∠BAN=60°=∠DCN，∠ANB=∠DNC， ∴△ANB∽△CND， 其相似比為：；
（3）由（2）得， ∴CN=AN=AC 同理AM=AC， ∴AM=MN=NC。
（4）作DF⊥BC交BC的延長線于F， ∵∠BCD=120°， ∴∠DCF=60°， 在Rt△CDF中， ∴∠CDF=30°， ∴CF=CD=， ∴， 在Rt△BDF中， ∵BF=BC+CF=，DF=， ∴。