Question

2．學(xué)完第七章《平面直角坐標(biāo)系》和第十九章《一次函數(shù)》后，老師布置了這樣一道思考題：已知：如圖，在長方形ABCD中，BC=4，AB=2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，BD和CE相交于點(diǎn)P．求△BPC的面積．
小明同學(xué)應(yīng)用所學(xué)知識，順利地解決了此題，他的思路是這樣的：
建立適當(dāng)?shù)摹捌矫嬷苯亲鴺?biāo)系”，寫出圖中一些點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)“一次函數(shù)”的知識求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可求得△BPC的面積．
請你按照小明的思路解決這道思考題．

Answer 1

分析 以點(diǎn)B為原點(diǎn)、BC為x軸、BA為y軸建立直角坐標(biāo)系，由此可得出點(diǎn)B、A、C、E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出直線BD、CE的解析式，聯(lián)立兩直線解析式成方程組，解之即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△BPC的面積．

解答 解：如圖建立直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)B（0，0）、C（4，0）、A（0，2）、D（4，2）、E（2，2）．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)B（0，0）、D（4，2）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x；
設(shè)直線CE的解析式為y=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{2m+n=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直線CE的解析式為y=-x+4．
聯(lián)立直線BD、CE的解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴S_△BPC=$\frac{1}{2}$BC•y_P=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了兩條直線相交或平行問題、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、矩形的性質(zhì)以及三角形的面積公式，建立合適的直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出直線BD、CE的解析式是解題的關(guān)鍵．