Question

15．如圖，在△ABC中，D是AB的中點，E是BC上的一點，且BE=4EC，CD與AE相交于點F，若△CEF的面積為1，則△ABC的面積為（　�。�

• A． 24
• B． 25
• C． 30
• D． 32

Answer 1

分析 解法一：作輔助線，構(gòu)建平行線，利用三角形中位線定理得：DG=$\frac{1}{2}$BE，與已知BE=4EC相結(jié)合得出DG與EC的比，因為△DGF∽△CEF，根據(jù)面積比等于相似比的平方可知S_△DFG=4，可依次得出△DFE、△DEC、△BDE、△BDC的面積，由此得出結(jié)論．
解法二：如圖2，作輔助線，利用同高三角形面積的比就是對應底邊的比得：S_△BEF=4S_△EFC=4，證明△DGF∽△CEF，則$\frac{DF}{FC}=\frac{DG}{EC}=2$，求S_△BDF=2S_△BFC=10，最后根據(jù)三角形中線平分面積的性質(zhì)得結(jié)論．

解答 解：解法一：如圖1，過D作DG∥BC，交AE于G，則△DGF∽△CEF，
∵AD=BD，
∴AG=GE，
∴DG=$\frac{1}{2}$BE，
∵BE=4EC，
∴$\frac{DG}{EC}$=2，
∵△DGF∽△CEF，
∴$\frac{{S}_{△DFG}}{{S}_{△CEF}}$=4，$\frac{GF}{FE}=\frac{DG}{EC}$=2，
∵S_△CEF=1，
∴S_△DFG=4，
∴${S}_{△DFE}=\frac{1}{2}{S}_{△DFG}$=2，
∴S_△DEC=S_△DFE+S_△CEF=2+1=3，
∴S_△BDE=4S_△DEC=4×3=12，
∴S_△BDC=S_△BDE+S_△DEC=12+3=15，
∴S_△ABC=2S_△BDC=2×15=30．
解法二：如圖2，連接BF，
∵BE=4EC，
∴S_△BEF=4S_△EFC=4，
在AE上取中點G，連接DG，
∵D是AB的中點，
∴DG是△ABE的中位線，
∴DG=$\frac{1}{2}$BE，
∵BE=4EC，
∴DG=2EC，
∵DG∥EC，
∴△DGF∽△CEF，
∴$\frac{DF}{FC}=\frac{DG}{EC}=2$，
∴S_△BDF=2S_△BFC=2（S_△BEF+S_△EFC）=2×（4+1）=10，
∴S_△BDC=10+5=15，
∵D是AB的中點，
∴S_△ABC=2S_△BDC=30，
或連接BF．∵BE=4EC，且S△CEF=1，∴S_△BEF=4；∵點D是AB中點，∴S_△BDF=S_△ADF=x，S△BDC=S△ADC；即S_△AFC+x=x+5，∴S△AFC=5，因為S_△CEF1，所以S△AEC=6，又因為BE=4EC，所以S_△ABE=24，所以S_△ABC=30
故選C．

點評 本題是三角形的面積問題，考查了三角形面積與底和高的關(guān)系，做好本題要知道以下內(nèi)容：①兩個同高的三角形的面積的比等于對應底的比；②平行于三角形一邊的直線必平分第三邊；③三角形的中線將三角形分成了兩個面積相等的三角形；④相似三角形面積的比等于相似比的平方．