Question

16．若已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），將線段OA沿直線y=-x+m折疊，點(diǎn)O、A的對應(yīng)點(diǎn)分別為O′、A′，使線段O′A′與反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 分兩種情況進(jìn)行討論：線段AO的對稱線段在第一象限，線段AO的對稱線段在第三象限，分別根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得m的值，再根據(jù)線段O′A′與反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$恰有一個(gè)公共點(diǎn)，即可得到m的取值范圍．

解答 解：如圖所示，當(dāng)O的對稱點(diǎn)O'落在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，
根據(jù)直線OO'與直線y=-x+m互相垂直，可得直線OO'為y=x，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{2}}\\{y=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\sqrt{2}}\\{y=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴O'（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），O₂（-2$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$），
∴線段OO'的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
把（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）代入直線y=-x+m，可得m=2$\sqrt{2}$，
如圖，當(dāng)A的對稱點(diǎn)A“落在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，
根據(jù)A'O'=AO=2，A'O'⊥x軸，可得直線AA'由直線OO'向下平移2個(gè)單位得到的，
∴直線AA'的解析式為y=x-2，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴A“（4，2），A₁（-2，-4），
又∵A（2，0），
∴線段AA“的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），
把（3，1）代入直線y=-x+m，可得m=4，
∴當(dāng)線段O′A′與反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$（x＞0）恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，2$\sqrt{2}$≤m≤4；
同理，把線段OO₂的中點(diǎn)坐標(biāo)（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）代入直線y=-x+m，可得m=-2$\sqrt{2}$，
把線段AA₁的中點(diǎn)坐標(biāo)（0，-2）代入直線y=-x+m，可得m=-2，
∴當(dāng)線段O′A′與反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$（x＜0）恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，-2$\sqrt{2}$≤m≤-2；
綜上所述，m的取值范圍為2$\sqrt{2}$≤m≤4或-2$\sqrt{2}$≤m≤-2．

點(diǎn)評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題以及一次函數(shù)圖象與幾何變換的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類討論的思想，畫出圖形進(jìn)行分析．解題時(shí)注意：直線y=-x+m與直線y=x互相垂直．