Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將直線y=-3x向上平移3個(gè)單位，與y軸、x軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC．若反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，求此反比例函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

分析 過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，作CF⊥y軸于點(diǎn)F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證出△ACF≌△BCE（AAS），從而得出S_矩形OECF=S_{四邊形OBCA}=S_△AOB+S_△ABC，根據(jù)直線AB的表達(dá)式利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，結(jié)合勾股定理可得出AB的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即可求出k值，此題得解．

解答 解：過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，作CF⊥y軸于點(diǎn)F，如圖所示．
∵CE⊥x軸，CF⊥y軸，
∴∠ECF=90°．
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ACF+∠FCB=∠FCB+∠BCE=90°，AC=BC，
∴∠ACF=∠BCE．
在△ACF和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠BEC=90°}\\{∠ACF=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE（AAS），
∴S_△ACF=S_△BCE，
∴S_矩形OECF=S_{四邊形OBCA}=S_△AOB+S_△ABC．
∵將直線y=-3x向上平移3個(gè)單位可得出直線AB，
∴直線AB的表達(dá)式為y=-3x+3，
∴點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B（1，0），
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=BC=$\sqrt{5}$，
∴S_矩形OECF=S_△AOB+S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=4．
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，
∴k=4，
∴此反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=$\frac{4}{x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、全等三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象與幾何變換、等腰直角三角形以及三角形的面積，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合角的計(jì)算，證出△ACF≌△BCE（AAS）是解題的關(guān)鍵．