Question

15．如圖，在圓周上兩個不同的點上分別寫上1，2，第1次操作：在數(shù)字1、2將圓周分成的兩條圓弧中點上寫上$\frac{1+2}{1}$=3，第2次操作：在數(shù)字1，3，2，3將圓周分成的四條圓弧中點依次寫上$\frac{1+3}{2}$=2，$\frac{3+2}{2}$=$\frac{5}{2}$，$\frac{2+3}{2}$=$\frac{5}{2}$，$\frac{3+1}{2}$=2，…，第k次操作是在上一次操作基礎(chǔ)上，在每兩個相鄰的數(shù)分成的圓弧中點寫上這兩個數(shù)和的$\frac{1}{k}$（k≠0），第2016次操作后圓周上所有數(shù)字的和與第2015次操作后圓周上所有數(shù)字的和的比是$\frac{1009}{1008}$．

Answer 1

分析 設(shè)第n次操作后圓周上所有數(shù)字的和為a_n，數(shù)字的個數(shù)為x個，根據(jù)寫數(shù)的規(guī)律可知a_n+1=$\frac{n+3}{n+1}{a}_{n}$，根據(jù)該規(guī)律即可解決問題．

解答 解：設(shè)第n次操作后圓周上所有數(shù)字的和為a_n，數(shù)字的個數(shù)為x個，
根據(jù)寫數(shù)的規(guī)律可知，第n個圖形上的每個數(shù)字用到2次，
∴a_n+1=a_n+$\frac{2}{n+1}$a_n=$\frac{n+3}{n+1}{a}_{n}$．
令n=2015，則有a₂₀₁₆=$\frac{2018}{2016}$a₂₀₁₅．
∴$\frac{{a}_{2016}}{{a}_{2015}}$=$\frac{2018}{2016}$=$\frac{1009}{1008}$．
故答案為：$\frac{1009}{1008}$．

點評 本題考查了規(guī)律型的數(shù)字的變化以及圖形的變化，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律“a_n+1=$\frac{n+3}{n+1}{a}_{n}$”．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，結(jié)合圖形與數(shù)字的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．