Question

11．如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，連接AB、CP交于D，∠APC=∠CPB=60°．
（1）如圖1，求證：△ABC是等邊三角形；
（2）如圖2，點(diǎn)G為線(xiàn)段CP上一點(diǎn)，連BG，若∠CBG=2∠ACP時(shí)，求證：CG=DP+AP；
（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)PD=DG=1時(shí)，求AD和tan∠PCB值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理得到∠BAC=∠ABC=60°，根據(jù)等邊三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到△PBH≌△PBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠PBH=∠PBD，根據(jù)圓周角定理得到∠CBG=∠ABH，在△BAH與△BCG中，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=AH，等量代換即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)已知條件得到CF=PD=1，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BP=BF，推出△PBF是等邊三角形，求得PB=PF=BF=3，解直角三角形得到DS=$\sqrt{3}$，SF=1，由勾股定理得到BD=$\sqrt{B{S}^{2}+D{S}^{2}}$=$\sqrt{7}$，通過(guò)相似三角形的性質(zhì)得到AD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，
∴∠BAC=∠BPC，∠ABC=∠APC，
∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形；

（2）延長(zhǎng)AP到H使PH=PD，連接BH，
∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠HPB=60°，
在△PBH與△PBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{PH=PD}\\{∠HPB=∠DPB}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△PBH≌△PBD，
∴∠PBH=∠PBD，
∵∠APB=∠ACP，
∴∠PBH=∠PBA=∠ACP，
∵∠CBG=2∠ACP，
∴∠CBG=∠ABH，
在△BAH與△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠ABH}\\{BC=AB}\\{∠BCG=∠BAH}\end{array}\right.$，
∴△BAH≌△BCG，
∴CG=AH，
∵AH=AP+PH=AP+PD，
∴CG=AP+PD；

（3）在CG上截取CF=AP，連接BF，
∵PD=DG=1，CG=AP+PD，
∵CG=CF+GF，
∴CF=PD=1，
∵∠PAB=∠BCG，
在△APB與△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=CF}\\{∠PAB=∠PCB}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△BCF，
∴BP=BF，
∵∠CPB=60°，
∴△PBF是等邊三角形，
∴PB=PF=BF=3，
過(guò)D作DS⊥BH于S，
∴DS=$\sqrt{3}$，SF=1，
∴BS=2，
∴BD=$\sqrt{B{S}^{2}+D{S}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵∠APC=∠ABC，∠ADP=∠BDC，
∴△APD∽△CBD，
∴$\frac{AP}{BF}=\frac{AD}{BD}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∵∠FBD+∠ABP=∠BCP+∠ACP=60°，
∵∠ABP=∠ACP，
∴∠DBF=∠PCB，
∴tan∠PCB=tan∠DBF=$\frac{DS}{BS}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．