Question

3．如圖，△ABC中，∠ABC=90°，AC=CE，BC=CD，∠ACE=∠BCD=90°，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交DE于F．
（1）求證：EF=DF；
（2）求證：S_△ABC=S_△DCE．

Answer 1

分析 （1）作EG⊥BF，交BF延長(zhǎng)線(xiàn)于G；證出∠ECG=∠BAC，由AAS證明△ABC≌△CGE，得出BC=EG，再由AAS證明△CFD≌△GFE，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出面積相等S_△DCE=S_△CGE，S_△ABC=S_△CGE，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）作EG⊥BF，交BF延長(zhǎng)線(xiàn)于G，如圖所示：
則∠CGE=∠ABC=90°，
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠ECG=90°，
∵∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ECG=∠BAC，
在△ABC和△CGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECG=∠BAC}\\{∠CGE=∠ABC}\\{AC=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CGE（AAS），
∴BC=EG，
∵BC=CD，
∴EG=CD，
∵∠BCD=90°，
∴∠DCF=90°=∠EGF，
在△CFD和△GFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCF=∠EGF}\\{∠CFD=∠GFE}\\{CD=EG}\end{array}\right.$，
∴△CFD≌△GFE（AAS），
∴EF=DF；
（2）∵△CFD≌△GFE，
∴S_△CFD=S_△GFE，
∴S_△CFD+S_△CFE=S_△GFE+S_△CFE，
即S_△DCE=S_△CGE，
∵△ABC≌△CGE，
∴S_△ABC=S_△CGE，
∴S_△ABC=S_△DCE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積；本題有一定難度，特別是（1）中，需要通過(guò)作輔助線(xiàn)兩次證明三角形全等才能得出結(jié)論．