Question

13．數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：
點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a-b|．
利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問(wèn)題：
①數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是3，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是4．
②數(shù)軸上表示x和-2的兩點(diǎn)之間的距離表示為|x+2|．?dāng)?shù)軸上表示x和5的兩點(diǎn)之間的距離表示為|5-x|．
③若x表示一個(gè)有理數(shù)，則|x-1|+|x+3|的最小值=4．
④若x表示一個(gè)有理數(shù)，且|x+3|+|x-2|=5，則滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)x的是-3或2或-1或0或1或2．
⑤若x表示一個(gè)有理數(shù)，當(dāng)x為3，式子|x+2|+|x-3|+|x-5|有最小值為7．

Answer 1

分析 ①②在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a-b|，依此即可求解；
④根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值號(hào)，然后計(jì)算即可得解；
③首先將原式變形為y=|x-1|+|x+3|，然后分別從當(dāng)x≥1時(shí)，當(dāng)-3≤x＜1時(shí)，當(dāng)x＜-3時(shí)去分析，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，即可求得y的最小值；
④當(dāng)x＜-3時(shí)，當(dāng)-3≤x≤2時(shí)，當(dāng)x＞2時(shí)，當(dāng)x=-1，當(dāng)x=1，當(dāng)x=0去分析，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，即可求得答案；
⑤當(dāng)x≥5時(shí)，當(dāng)3≤x＜5時(shí)，當(dāng)-2≤x＜3時(shí)，當(dāng)x＜-2時(shí)去分析，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，即可求得y的最小值．

解答 解：①數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是5-2=3，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是1-（-3）=4，
故答案為：3，4；

②數(shù)軸上表示x和-2的兩點(diǎn)之間的距離表示為|x-（-2）|=|x+2|，數(shù)軸上表示x和5的兩點(diǎn)之間的距離表示為|5-x|，
故答案為：|x+2|，|5-x|；

③當(dāng)x＜-3時(shí)，|x-1|+|x+3|=1-x-x-3=-2x-2，
當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，|x-1|+|x+3|=1-x+x+3=4，
當(dāng)x＞1時(shí)，|x-1|+|x+3|=x-1+x+3=2x+2，
在數(shù)軸上|x-1|+|x+3|的幾何意義是：表示有理數(shù)x的點(diǎn)到-3及到1的距離之和，所以當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，它的最小值為4，
故答案為：4；

④當(dāng)x＜-3時(shí)，|x+3|+|x-2|=-x-3+2-x=-2x-1=5，
解得：x=-3，
此時(shí)不符合x(chóng)＜-3，舍去；
當(dāng)-3≤x≤2時(shí)，|x+3|+|x-2|=x+3+2-x=5，
此時(shí)x=-3或x=2；
當(dāng)x＞2時(shí)，|x+3|+|x-2|=x+3+x-2=2x+1=5，
解得：x=2，
此時(shí)不符合x(chóng)＞2，舍去；
當(dāng)x=0時(shí)，|x+3|+|x-2|=5；
當(dāng)x=1時(shí)，|x+3|+|x-2|=5；
當(dāng)x=-1時(shí)，|x+3|+|x-2|=5；
故答案為：-3或2或-1或0或1或2；

⑤∵設(shè)y=|x+2|+|x-3|+|x-5|，
i、當(dāng)x≥5時(shí)，y=x+2+x-3+x-5=3x-6，
∴當(dāng)x=5時(shí)，y最小為：3x-6=3×5-6=9；
ii、當(dāng)3≤x＜5時(shí)，y=x+2+x-3+5-x=x+4，
∴當(dāng)x=3時(shí)，y最小為7；
iii、當(dāng)-2≤x＜3時(shí)，y=x+2+3-x+5-x=10-x，
∴此時(shí)y最小接近7；
iiii、當(dāng)x＜-2時(shí)，y=-x-2+3-x+5-x=6-x，
∴此時(shí)y最小接近8；
∴y的最小值為7．
故答案為：3，7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)軸，絕對(duì)值的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的表示是解題的關(guān)鍵．注意分類(lèi)思想的運(yùn)用．