Question

1．（1）如圖1是某個多面體的表面展開圖．
①請你寫出這個多面體的名稱，并指出圖中哪三個字母表示多面體的同一點；
②如果沿BC、GH將展開圖剪成三塊，恰好拼成一個矩形，那么△BMC應(yīng)滿足什么條件？（不必說理）
（2）如果將一個三棱柱的表面展開圖剪成四塊，恰好拼成一個三角形，如圖2，那么該三棱柱的側(cè)面積與表面積的比值是多少？為什么？（注：以上剪拼中所有接縫均忽略不計）

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)這個多面體的表面展開圖，可得這個多面體是直三棱柱，點A、M、D三個字母表示多面體的同一點，據(jù)此解答即可．
②根據(jù)圖示，要使沿BC、GH將展開圖剪成三塊，恰好拼成一個矩形，則△BMC應(yīng)滿足兩個條件：△BMC中的三個內(nèi)角有一個是直角；△BMC中的一條直角邊和DH的長度相等，據(jù)此解答即可．
（2）首先判斷出矩形ACKL、BIJC、AGHB為棱柱的三個側(cè)面，且四邊形DGAL、EIBH、FKCJ須拼成與底面△ABC全等的另一個底面的三角形，AC=LK，且AC=DL+FK，$\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$，同理，可得$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$，據(jù)此判斷出△ABC∽△DEF，即可判斷出S_△DEF=4S_△ABC；然后求出該三棱柱的側(cè)面積與表面積的比值是多少即可．

解答 解：（1）①根據(jù)這個多面體的表面展開圖，可得
這個多面體是直三棱柱，
點A、M、D三個字母表示多面體的同一點．

②△BMC應(yīng)滿足的條件是：
a、∠BMC=90°，且BM=DH，或CM=DH；
b、∠MBC=90°，且BM=DH，或BC=DH；
c、∠BCM=90°，且BC=DH，或CM=DH；

（2）如圖2，連接AB、BC、CA，，
∵△DEF是由一個三棱柱表面展開圖剪拼而成，
∴矩形ACKL、BIJC、AGHB為棱柱的三個側(cè)面，
且四邊形DGAL、EIBH、FKCJ須拼成與底面△ABC全等的另一個底面的三角形，
∴AC=LK，且AC=DL+FK，
∴$\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$，
同理，可得
$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$，
∴△ABC∽△DEF，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△DEF}}=\frac{1}{4}$，
即S_△DEF=4S_△ABC，
∴$\frac{{S}_{側(cè)面積}}{{S}_{表面積}}=\frac{{S}_{△DEF}{-2S}_{△ABC}}{{S}_{△DEF}}=\frac{{2S}_{△ABC}}{{4S}_{△ABC}}=\frac{1}{2}$，
即該三棱柱的側(cè)面積與表面積的比值是$\frac{1}{2}$．

點評 （1）此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．
（3）此題還考查了直三棱柱的表面展開圖的特征和應(yīng)用，要熟練掌握．