Question

12．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c過A（0，2），B（1，3），CB⊥x軸于點(diǎn)C，四邊形CDEF為正方形，點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)E在此拋物線上，且在直線BC的左側(cè)，則正方形CDEF的邊長(zhǎng)為$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$．

Answer 1

分析 先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，再設(shè)正方形CDEF的邊長(zhǎng)為a，利用BC⊥x軸和B點(diǎn)坐標(biāo)可表示出D（1，a），根據(jù)正方形的性質(zhì)可表示出E（1-a，a），接著把E（1-a，a）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2得到關(guān)于a的一元二次方程，然后解一元二次方程即可確定正方形CDEF的邊長(zhǎng)．

解答 解：把A（0，2），B（1，3）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-\frac{1}{2}+b+2=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
所以二次函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
設(shè)正方形CDEF的邊長(zhǎng)為a，則D（1，a），E（1-a，a），
把E（1-a，a）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2得-$\frac{1}{2}$（1-a）²+$\frac{3}{2}$（1-a）+2=a，
整理得a²+3a-6=0，解得a₁=$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$，a₂=$\frac{-3-\sqrt{33}}{2}$（舍去），
所以正方形CDEF的邊長(zhǎng)為$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$．
故答案為$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和正方形的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；會(huì)解一元二次方程．