Question

6．如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線在x軸下方的部分沿x軸翻折，得到一個新函數(shù)的圖象（圖中的“V形折線”）．
（1）類比研究函數(shù)圖象的方法，請列舉新函數(shù)的兩條性質(zhì)，并求新函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，雙曲線y=$\frac{k}{x}$與新函數(shù)的圖象交于點C（1，a），點D是線段AC上一動點（不包括端點），過點D作x軸的平行線，與新函數(shù)圖象交于另一點E，與雙曲線交于點P．
①試求△PAD的面積的最大值；
②探索：在點D運動的過程中，四邊形PAEC能否為平行四邊形？若能，求出此時點D的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象可寫出新函數(shù)的兩條性質(zhì)；求新函數(shù)的解析式，可分兩種情況進(jìn)行討論：①x≥-3時，顯然y=x+3；②當(dāng)x＜-3時，利用待定系數(shù)法求解；
（2）①先把點C（1，a）代入y=x+3，求出C（1，4），再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{x}$．由點D是線段AC上一動點（不包括端點），可設(shè)點D的坐標(biāo)為（m，m+3），且-3＜m＜1，那么P（$\frac{4}{m+3}$，m+3），PD=$\frac{4}{m+3}$-m，再根據(jù)三角形的面積公式得出△PAD的面積為S=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{m+3}$-m）×（m+3）=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2=-$\frac{1}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
②先利用中點坐標(biāo)公式求出AC的中點D的坐標(biāo)，再計算DP，DE的長度，如果DP=DE，那么根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形PAEC為平行四邊形；如果DP≠DE，那么不是平行四邊形．

解答 解：（1）如圖1，均是正整數(shù)新函數(shù)的兩條性質(zhì)：①函數(shù)的最小值為0；
②函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=-3；
由題意得A點坐標(biāo)為（-3，0）．分兩種情況：
①x≥-3時，顯然y=x+3；
②當(dāng)x＜-3時，設(shè)其解析式為y=kx+b．
在直線y=x+3中，當(dāng)x=-4時，y=-1，
則點（-4，-1）關(guān)于x軸的對稱點為（-4，1）．
把（-4，1），（-3，0）代入y=kx+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=1}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴y=-x-3．
綜上所述，新函數(shù)的解析式為y=$\left\{\begin{array}{l}{x+3（x≥-3）}\\{-x-3（x＜-3）}\end{array}\right.$；

（2）如圖2，①∵點C（1，a）在直線y=x+3上，
∴a=1+3=4．
∵點C（1，4）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=1×4=4，y=$\frac{4}{x}$．
∵點D是線段AC上一動點（不包括端點），
∴可設(shè)點D的坐標(biāo)為（m，m+3），且-3＜m＜1．
∵DP∥x軸，且點P在雙曲線上，
∴P（$\frac{4}{m+3}$，m+3），
∴PD=$\frac{4}{m+3}$-m，
∴△PAD的面積為
S=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{m+3}$-m）×（m+3）=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2=-$\frac{1}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∵a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時，S有最大值，為$\frac{25}{8}$，
又∵-3＜-$\frac{3}{2}$＜1，
∴△PAD的面積的最大值為$\frac{25}{8}$；
②在點D運動的過程中，四邊形PAEC不能為平行四邊形．理由如下：
當(dāng)點D為AC的中點時，其坐標(biāo)為（-1，2），此時P點的坐標(biāo)為（2，2），E點的坐標(biāo)為（-5，2），
∵DP=3，DE=4，
∴EP與AC不能互相平分，
∴四邊形PAEC不能為平行四邊形．

點評 本題是反比例函數(shù)綜合題，其中涉及到利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積，二次函數(shù)最值的求法，平行四邊形的判定等知識，綜合性較強，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．