Question

10．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，DF⊥AB于F，AE⊥CF于E且交DF于M，求證：M為DF的中點．

Answer 1

分析 根據(jù)垂直的定義得到∠AFD=∠DFB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ADF=∠B，推出△ADF∽△DBF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AD}{BD}=\frac{DF}{BF}$，由于△ADM∽△CBF，由相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AD}{CB}=\frac{DM}{BF}$，根據(jù)已知條件得到BD=1/2BC 等量代換得到$\frac{DF}{BF}=\frac{2DM}{BF}$，即可得到結(jié)論．

解答 證明：∵DF⊥AB于F，
∴∠AFD=∠DFB=90°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠B+∠BDF=∠BDF+∠ADF=90°，
∴∠ADF=∠B，
∴△ADF∽△DBF，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DF}{BF}$，
∵AE⊥CF，
∴∠DAM=∠FCB，
∵∠ADF=∠B，
∴△ADM∽△CBF，
∴$\frac{AD}{CB}=\frac{DM}{BF}$，
又∵BD=1/2BC，
∴$\frac{AD}{2BD}$=$\frac{DM}{BF}$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{2DM}{BF}$，
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{2DM}{BF}$，
∴DM=$\frac{1}{2}$DF，即M為DF中點．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．