Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點，以BD做為直徑作⊙O交AC于點E，連接DE并延長交BC的延長線于點F，且BD=BF．
（1）求證：AC與⊙O相切；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面積．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OE，求出OE∥BF推出∠AEO=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）證△AOE=△ABC，得出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可．

解答：證明（1）連接OE，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∵BD=BF，
∴∠IDF=∠F，
∴∠OED=∠F，
∴OE∥BF，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴AC與⊙O相切；

（2）解：∵由（1）可知，∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A，
∴△AOE=△ABC，
∴

OE

BC

=

AO

AB

，
設(shè)⊙O的半徑為r，則

r

6

=

r+4

2r+4

，
解得r=4（負數(shù)舍去），
∴⊙O的面積為π×4²=16π．

點評：本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠AEO=90°和得出關(guān)于r的方程，用了方程思想難度適中．