Question

已知AB是⊙O的弦，EF切⊙O于B，AC⊥EF于C，求證：AB²=2AC•AO．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：如圖，作直徑AD，連結(jié)OB、BD，先根據(jù)切線的性質(zhì)得OB⊥AC，加上AC⊥EF，則OB∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠2=∠3，易得∠1=∠2，再根據(jù)圓中由AD為直徑得到∠ABD=90°，于是可證得Rt△ABD∽R(shí)t△ACB，利用相似比得AB²=AC•AD，再把AD=2AO代入即可得到結(jié)論．

解答：證明：如圖，作直徑AD，連結(jié)OB、BD，
∵EF切⊙O于B，
∴OB⊥AC，
∵AC⊥EF，
∴OB∥AC，
∴∠2=∠3，
∵OA=OB，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∵AD為直徑，
∴∠ABD=90°，
∴Rt△ABD∽R(shí)t△ACB，
∴

AB

AC

=

AD

AB

，
∴AB²=AC•AD，
而AD=2AO，
∴AB²=2AC•AO．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．