Question

4．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+x的對(duì)稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)為A．點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，連結(jié)OA、OP．當(dāng)OA⊥OP時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-4）．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線對(duì)稱軸列方程求出a，即可得到拋物線解析式，再根據(jù)拋物線解析式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E，求出∠OAE=∠EOP，然后根據(jù)銳角的正切值相等列出等式，再求解得到PE，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答 解：∵拋物線y=ax²+x的對(duì)稱軸為直線x=2，
∴-$\frac{1}{2a}$=2，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的表達(dá)式為：y=-$\frac{1}{4}$x²+x，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），
設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E．
如圖，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，tan∠OAE=$\frac{OE}{AE}$，tan∠EOP=$\frac{PE}{OE}$，
∵OA⊥OP，
∴∠OAE=∠EOP，
∴$\frac{OE}{AE}$=$\frac{PE}{OE}$，
∵AE=1，OE=2，
∴$\frac{2}{1}$=$\frac{PE}{2}$，
解得PE=4，
∴P（2，-4），
故答案為：（2，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，銳角三角函數(shù)的定義，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．