Question

9．求y²+4y+8的最小值．閱讀下列解答過程：
解：y²+4y+8=y²+4y+4+4=（y+2）²+4，又（y+2）²≥0，則（y+2）²+4≥4，所以y²+4y+8的最小值是4．
（1）式子（x-3）²+1在x=3時，取得最小值1；
（2）仿照以上運算求m²+2m+4的最小值
（3）多項式a²+b²-2a+4b-2會存在最小值嗎？若有請出，并求出此時a、b的值，若沒有請說明理由．
（4）那么4-x²+6x會存在最小值或最大值嗎？若有請出，若沒有請說明理由．

Answer 1

分析 （1）多項式配方后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多項式配方后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）把所給多項式整理為兩個完全平方式相加的形式，括號外的常數(shù)即為多項式的最小值；
（3）多項式4-x²+6x配方后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，即可求出最值．

解答 解：（1）由于（x-3）²≥0，所以（x-3）²+1≥1，所以當x=3時，取得最小值1．
故答案是：3；1；

（2）m²+2m+4=（m+1）²+3，
∵（m+1）²≥0，
∴（m+1）²+3≥3．
則m²+2m+4的最小值是3；

（3）a²+b²-2a+4b-2=（a-1）²+（b+2）²-7．
∵（a-1）²+（b+2）²≥0，
∴（a-1）²+（b+2）²-7≥-7，
∴多項式a²+b²-2a+4b-2會存在最小值-7，此時a=1，b=-2；

（4）4-x²+6x存在最大值．理由如下：
4-x²+6x=-（x-3）²-5．
∵-（x-3）²≤0，
∴-（x-3）²-5≤-5，
∴4-x²+6x存在最大值-5．

點評 本題考查了配方法的應用及非負數(shù)的性質，解決本題的關鍵是把所給多項式整理為兩個完全平方式相加的形式；難點是根據(jù)得到的式子判斷出所求的最小值．