Question

如圖，在⊙O中，弦AB=CD，AB⊥CD，垂足為G，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接OG，OB．
（1）求證：四邊形OEGF是正方形；
（2）若OB=5cm，OG=3

2

cm，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理

專題：

分析：（1）先根據(jù)AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD可知OE=OF，∠OEG=∠OFG，再由AB⊥CD可知∠EGF=90°，故可得出結(jié)論；
（2）由（1）知四邊形OEGF是正方形，故OE=GE，再由OG=3

2

cm可得出OE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF，∠OEG=∠OFG=90°，
∵AB⊥CD，
∴∠EGF=90°，
∴四邊形OEGF是正方形；

（2）解：∵由（1）知四邊形OEGF是正方形，
∴OE=GE，
∵OG=3

2

cm，
∴2OE²=OG²，即2OE²=（3

2

）²，解得OE=3cm．
在Rt△OBE中，BE=

OB2-OE2

=

52-32

=4cm，
∴AB=2BE=8cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．