Question

19．如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC
（1）若∠CAE=30°，求∠BCD的度數(shù)．
（2）求證：AE⊥CD．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形對應(yīng)角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性質(zhì)求出∠AEB的度數(shù)，即可確定出∠BDC的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形全等得到∠BAE=∠BCD，再利用直角之間的關(guān)系即可得到∠EFC=90°，結(jié)論即可得出．

解答 （1）證明：在△ABE和△CBD中，延長AE與DC相交于點F，如圖：

在RT△ABE與RT△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），
∴∠AEB=∠BDC，
∵∠AEB為△AEC的外角，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，
則∠BDC=75°；
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BCD+∠CEF=90°，
∴∠EFC=90°，
即AF⊥DC．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．