Question

18．如圖，已知矩形ABCD（AB＜AD）．
（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖，保留作圖痕跡；
①以點(diǎn)A為圓心，以AD的長(zhǎng)為半徑畫弧交邊BC于點(diǎn)E，連接AE；
②作∠DAE的平分線交CD于點(diǎn)F；
③連接EF；
（2）在（1）作出的圖形中，若AB=8，AD=10，則tan∠FEC的值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目要求作圖即可；
（2）由（1）知AE=AD=10、∠DAF=∠EAF，可證△DAF≌△EAF得∠D=∠AEF=90°，即可得∠FEC=∠BAE，從而由tan∠FEC=tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}$可得答案．

解答 解：（1）如圖所示；


（2）由（1）知AE=AD=10、∠DAF=∠EAF，
∵AB=8，
∴BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=6，
在△DAF和△EAF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△EAF（SAS），
∴∠D=∠AEF=90°，
∴∠BEA+∠FEC=90°，
又∵∠BEA+∠BAE=90°，
∴∠FEC=∠BAE，
∴tan∠FEC=tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查作圖-基本作圖及全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．