Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交邊AC與點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為AC上一動(dòng)點(diǎn)，且∠PDQ=90°．若BP=2，求CQ的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：分類討論

分析：首先證明△CDE∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)求得DE和CE的長(zhǎng)，然后分P在線段AB上和AB的延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)△DBP和△DEQ相似的性質(zhì)求解．

解答：解：∵DE⊥BC，∠A=90°，
∴∠CDE=∠A=90°，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴

CD

AC

=

DE

AB

=

CE

CB

，
∴DE=

15

4

，CE=

25

4

；
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，可證△DBP∽△DEQ，
∴

BP

EQ

=

DB

DE

，
∴EQ=

3

2

，
∴CQ=CE-EQ=

19

4

；
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，△DBP∽△DEQ，
∴

BP

EQ

=

DB

DE

，
∴EQ=

3

2

，
∴CQ=CE+EQ=

31

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等是常用的求線段的長(zhǎng)度的方法，正確進(jìn)行分類討論是關(guān)鍵．