Question

如圖，直線AB與坐標軸交于A（1，0）、B（0，2）兩點，過A，B兩點的拋物線與x軸的另一交點為（3，0），P為拋物線上的一動點，當∠PBA=45°時，P點的坐標為

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：先求出二次函數(shù)的解析式，然后過點B作BC⊥BP，交x軸于點C，延長BP交x軸于點D，可得∠CBA=45°，設點C坐標為（a，0），利用面積公式求出a值，然后得出點C坐標，根據(jù)BC⊥BD，BO⊥CD，可得△BCO∽DCB，進而得出

BC

CO

=

CD

BC

，求出點D的坐標，然后求出直線BD的解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立求出點P的坐標．

解答：解：設二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
則

a+b+c=0 c=2 9a+3b+c=0

，
解得：

a= 2 3 b=- 8 3 c=2

，
二次函數(shù)的解析式為：y=

2

3

x²-

8

3

x+2，
過點B作BC⊥BP，交x軸于點C，延長BP交x軸于點D，
則有∠CBA=45°，
設點C坐標為（a，0）（a＜0），
∵S_△ABC=

1

2

BC•ABsin∠ABC=

1

2

AC•BO，
∴

1

2

a2+4

•

5

•

2

2

=

1

2

（1-a）•2，
整理得：3a²-16a-12=0，
解得：a=-

2

3

或a=6（不合題意，舍去），
∴點C（-

2

3

，0），
∵BC⊥BD，BO⊥CD，
∴△BCO∽DCB，
則有

BC

CO

=

CD

BC

，
即BC²=CO•CD，
∴

40

9

=

2

3

（

2

3

+OD），
解得：OD=6，
即點D（6，0），
∵B（0，2），
∴設直線BD的解析式為y=kx+m，
代入得：

m=2 6k+m=0

，
解得：

k=- 1 3 m=2

，
∴直線BD的解析式為y=-

1

3

x+2，
與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立得：

y=- 1 3 x+2 y= 2 3 x2- 8 3 x+2

，
解得：

x1=0 y1=2

，

x2= 7 2 y2= 5 6

，
即點P的坐標為（

7

2

，

5

6

）．
故答案為：（

7

2

，

5

6

）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，涉及到待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式、三角形的面積公式、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，涉及考點眾多，綜合性較強，計算量大，有一定的難度．