Question

6．如圖，在△ABC中，∠C=90°，D是BC邊上一點(diǎn)，以DB為直徑的⊙O經(jīng)過AB的中點(diǎn)E，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)EF．
（1）求證：∠1=∠F．
（2）若sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，EF=2$\sqrt{5}$，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接DE，由BD是⊙O的直徑，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中點(diǎn)，得到DA=DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠B等量代換即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AE=EF=2$\sqrt{5}$，推出AB=2AE=4$\sqrt{5}$，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，設(shè)CD=x，則AD=BD=8-x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）證明：連接DE，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠DEB=90°，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴DA=DB，
∴∠1=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠1=∠F；

（2）∵∠1=∠F，
∴AE=EF=2$\sqrt{5}$，
∴AB=2AE=4$\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，AC=AB•sinB=4，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
設(shè)CD=x，則AD=BD=8-x，
∵AC²+CD²=AD²，
即4²+x²=（8-x）²，
∴x=3，即CD=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理，解直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．