Question

18．在Rt△ABC中，∠C=90°，其內(nèi)切圓半徑為2cm，斜邊AB=10cm，那么△ABC的面積是（　�。�

• A． 48cm²
• B． 24cm²
• C． 20cm²
• D． 12cm²

Answer 1

分析 設(shè)Rt△ABC的內(nèi)切圓與三邊分別相切于D、E、F，連接OE、OF，則OE⊥BC，OF⊥AC，OE=OF，證出四邊形OECF是正方形，得出CE=CF=OE=2cm，設(shè)AF=x，由切線長定理得出：AD=AF=xcm，則BE=BD=（10-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程求出AC、BC，即可得出結(jié)果．

解答 解：如圖所示：
設(shè)Rt△ABC的內(nèi)切圓與三邊分別相切于D、E、F，連接OE、OF，
則OE⊥BC，OF⊥AC，OE=OF，
∵∠C=90°，
∴四邊形OECF是正方形，
∴CE=CF=OE=2cm，
設(shè)AF=x，由切線長定理得：AD=AF=xcm，
則BE=BD=（10-x）cm，
由勾股定理得：AC²+BC²=AB²，
即（x+2）²+（10-x+2）²=10²，
解得：x=6，或x=4，
當(dāng)x=6時，AC=8cm，BC=6cm；
當(dāng)x=4時，AC=6cm，BC=8cm；
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×6×8=24（cm²）；
故選：B．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、正方形的判定與性質(zhì)、切線長定理、勾股定理；熟練掌握切線長定理，由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵．