Question

2．我們發(fā)現(xiàn)了一種“乘法就是減法”的非常有趣的運算：
①1×$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$：②2×$\frac{2}{3}$=2-$\frac{2}{3}$；  ③3×$\frac{3}{4}$=3-$\frac{3}{4}$； …
（1）請直接寫出第4個等式是4×$\frac{4}{5}$=4-$\frac{4}{5}$；
（2）試用n（n為自然數(shù)，n≥1）來表示第n個等式所反映的規(guī)律是n×$\frac{n}{n+1}$=n-$\frac{n}{n+1}$；
（3）請說明（2）中猜想的結論是正確的．

Answer 1

分析 觀察已知算式可以發(fā)現(xiàn)：等式左側乘積的第一個因數(shù)是從1開始的連續(xù)自然數(shù)，第二個因數(shù)的分子和這個自然數(shù)相同，分母比分子大1；右側恰是左側兩個因數(shù)的差；由此可以解決（1）和（2）；
（3）根據（2）中算式左側和右側進行分式運算比較即可．

解答 解：等式左側乘積的第一個因數(shù)是從1開始的連續(xù)自然數(shù)，第二個因數(shù)的分子和這個自然數(shù)相同，分母比分子大1；右側恰是左側兩個因數(shù)的差；
（1）第4個等式：4×$\frac{4}{5}$=4-$\frac{4}{5}$，
（2）第n個等式：n×$\frac{n}{n+1}$=n-$\frac{n}{n+1}$，
（3）證明：n×$\frac{n}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$，n-$\frac{n}{n+1}$=$\frac{n（n+1）{-n}^{2}}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$，
∴n×$\frac{n}{n+1}$=n-$\frac{n}{n+1}$，
∴（2）中猜想的結論是正確的．

點評 此題主要考察運算規(guī)律的探索應用與證明，觀察已知算式找出規(guī)律是解題的關鍵．