Question

13．如圖所示，在矩形ABCD中．AB=12，BC=5，點P從點B沿BC邊向點C運動，點M從點D沿對角線DB向點B運動，且始終保持BP=DM．若設BP=x，△BPM的面積為y，請寫出y與x之間的函數關系式，并注明自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 根據勾股定理可得BD=13，因為DM=x，所以BM=13-x，過點M作ME⊥BC于點E，可得到△BME∽△BDC，然后根據相似三角形的性質得到$\frac{ME}{DC}=\frac{BM}{BD}$，由此即可用x表示ME，最后根據三角形的面積公式即可確定函數關系式．

解答 解：∵AB=12，BC=5，
∴CD=12，
∴BD=13，
∵DM=x，
∴BM=13-x，
如圖，過點M作ME⊥BC于點E，
∴ME∥DC，
∴△BME∽△BDC，
∴$\frac{ME}{DC}=\frac{BM}{BD}$，
∴ME=12-$\frac{12}{13}$x，
∵S_△MBP=$\frac{1}{2}$×BP×ME，
∴y=-$\frac{6}{13}$x²+6x，P不與B重合，那么x＞0，可與點C重合，那么x≤6．
∴y與x之間的函數關系式：y=-$\frac{6}{13}$x²+6x（0＜x≤5）．

點評 此題主要考查了動點問題的函數圖象，相似三角形的性質和判定，求函數關系式．本題的難點是利用相似得到△MBP中BP邊上的高ME的代數式，